Les Tableaux de Karnaugh
Simplifiez vos circuits logiques avec une méthode graphique puissante
Pourquoi Simplifier les Circuits ?
En électronique numérique, une même fonction logique peut être réalisée de plusieurs façons différentes. La simplification permet de :
- Réduire le nombre de portes logiques nécessaires
- Diminuer le coût du circuit
- Réduire la consommation électrique
- Augmenter la vitesse (moins de portes = moins de délais)
- Améliorer la fiabilité (moins de composants = moins de pannes)
Exemple concret
Expression non simplifiée :
Nécessite : 4 portes AND à 3 entrées + 1 porte OR à 4 entrées + inverseurs = ~12 portes
Expression simplifiée :
Nécessite : 3 portes AND à 2 entrées + 1 porte OR à 3 entrées = ~4 portes
Économie de 66% de composants !
Méthodes de Simplification
1. Méthode Algébrique
Utilise les lois de l’algèbre de Boole pour simplifier les expressions.
Exemple :
F = A·(B + B̄) [factorisation]
F = A·1 [B + B̄ = 1]
F = A
2. Tableau de Karnaugh (Méthode Graphique)
Méthode systématique et visuelle qui garantit une simplification optimale !
- Méthode visuelle et intuitive
- Garantit une simplification optimale
- Fonctionne bien jusqu’à 4-5 variables
- Plus rapide que l’algèbre pour les circuits moyens
- Facile à vérifier
Principe du Tableau de Karnaugh
Le tableau de Karnaugh est un tableau où :
- Chaque case représente une combinaison des variables d’entrée
- Les cases sont ordonnées selon le code Gray (un seul bit change entre cases adjacentes)
- On place dans chaque case la valeur de sortie (0 ou 1)
- On regroupe les cases adjacentes contenant des 1 par groupes de 2, 4, 8, etc.
- Chaque groupe donne un terme simplifié
Les cases adjacentes ne diffèrent que d’une seule variable. En les regroupant, on peut éliminer cette variable de l’expression !
Exemple : A·B·C + A·B·C̄ = A·B·(C + C̄) = A·B
Tableau de Karnaugh à 2 Variables
Pour 2 variables (A et B), le tableau a 4 cases (2² = 4 combinaisons).
Structure du tableau
| B | ||
| A | 0 | 1 |
| 0 | Ā·B̄ | Ā·B |
| 1 | A·B̄ | A·B |
Exemple : F = A·B + Ā·B
Étape 1 : Placer les 1 dans le tableau
| B | ||
| A | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Étape 2 : Regrouper les cases adjacentes contenant des 1
Les deux 1 sont verticalement adjacents → on peut les regrouper
Étape 3 : Lire le groupe
Le groupe couvre A=0 et A=1, donc A varie (on l’élimine)
Le groupe est entièrement dans la colonne B=1, donc B reste
Expression simplifiée : F = B
Tableau de Karnaugh à 3 Variables
Pour 3 variables (A, B, C), le tableau a 8 cases (2³ = 8 combinaisons).
Structure du tableau (disposition Gray)
| BC | ||||
| A | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 | Ā·B̄·C̄ | Ā·B̄·C | Ā·B·C | Ā·B·C̄ |
| 1 | A·B̄·C̄ | A·B̄·C | A·B·C | A·B·C̄ |
Exemple complet : Simplifier F(A,B,C) = Σ(1,3,5,7)
Les mintermines 1, 3, 5, 7 correspondent aux combinaisons où F=1 :
- 1 = 001 = Ā·B̄·C
- 3 = 011 = Ā·B·C
- 5 = 101 = A·B̄·C
- 7 = 111 = A·B·C
Étape 1 : Placer les 1 dans le tableau
| BC | ||||
| A | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Étape 2 : Identifier les regroupements possibles
On observe que tous les 1 forment un grand groupe de 4 cases (2×2)
Étape 3 : Analyser le regroupement
- Le groupe couvre A=0 et A=1 → A varie, on l’élimine
- Le groupe couvre uniquement B=0,C=1 (01) et B=1,C=1 (11) → C=1 reste
- B varie dans le groupe → B s’élimine
Résultat : F = C (au lieu de 4 termes !)
Tableau de Karnaugh à 4 Variables
Pour 4 variables (A, B, C, D), le tableau a 16 cases (2⁴ = 16 combinaisons).
Structure du tableau 4×4
| CD | ||||
| AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 0 | 1 | 5 | 4 |
| 01 | 2 | 3 | 7 | 6 |
| 11 | 10 | 11 | 15 | 14 |
| 10 | 8 | 9 | 13 | 12 |
Les numéros dans les cases correspondent aux valeurs décimales des combinaisons
Exemple : F(A,B,C,D) = Σ(0,1,2,5,8,9,10)
| CD | ||||
| AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Regroupements identifiés :
En fait : CD=00 ou 01 → D̄ et B̄ → B̄·D̄
Expression finale simplifiée :
Note : Cette simplification peut varier selon les regroupements choisis. L’objectif est de minimiser le nombre de termes.
Règles de Regroupement
- Les groupes doivent contenir un nombre de cases qui est une puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, 16
- Les groupes doivent être rectangulaires (pas de forme en L)
- Les groupes doivent être aussi grands que possible
- Chaque 1 doit être dans au moins un groupe
- Les groupes peuvent se chevaucher
- Les bords opposés du tableau sont adjacents (effet torique)
Cas des bords adjacents
Le tableau est « torique »
| CD | ||||
| AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Les 4 coins forment un groupe valide ! (gauche et droite sont adjacents)
❓ Les Conditions Indifférentes (Don’t Care)
Parfois, certaines combinaisons d’entrées ne se produisent jamais ou leur sortie n’a pas d’importance. On les note X ou d (don’t care).
On peut considérer les X comme des 0 ou des 1 selon ce qui simplifie le mieux le circuit !
Exemple : Afficheur BCD
Un décodeur BCD n’utilise que les combinaisons 0-9 (1010 à 1111 sont invalides en BCD).
| CD | ||||
| AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | X | X | X | X |
| 10 | X | X | X | X |
Stratégie : On peut inclure certains X dans nos groupes pour les agrandir !
En considérant les X comme des 1, on peut former un grand groupe de 8 cases (colonnes 01 et 11) :
Simplification maximale grâce aux don’t care !
Méthode Pas à Pas
Placer les 1, 0 et X (don’t care) dans chaque case selon la table de vérité
Chercher les plus grands groupes possibles (8, 4, 2, 1) en incluant éventuellement des X
S’assurer que tous les 1 sont dans au moins un groupe
Pour chaque groupe, écrire le produit des variables qui ne changent pas dans le groupe
L’expression finale est la somme (OR) de tous les termes trouvés
Application : Contrôleur de Relais Radio
Cahier des charges
Un relais amateur s’active SI :
- P : PTT activé (1=appuyé, 0=relâché)
- T : Tonalité CTCSS correcte (1=OK, 0=KO)
- S : Signal suffisant (1=bon, 0=faible)
- B : Batterie OK (1=OK, 0=faible)
Règles :
- Le relais s’active si PTT ET CTCSS ET Signal sont OK
- Si batterie faible, le relais ne s’active que si signal très fort (à définir)
- Certaines combinaisons impossibles (ex: PTT sans signal)
Table de vérité simplifiée
| P | T | S | B | Relais (F) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| … | … | … | … | … |
Après simplification par Karnaugh :
Le circuit final nécessite moins de portes grâce à la simplification !
Comparaison des Méthodes
| Critère | Algèbre de Boole | Karnaugh |
|---|---|---|
| Nombre de variables | Illimité | Pratique jusqu’à 4-5 |
| Garantie d’optimum | Non | Oui |
| Facilité d’utilisation | Nécessite expérience | Méthodique et visuel |
| Rapidité | Variable | Rapide pour 2-4 variables |
| Don’t care | Difficile à gérer | Facile à intégrer |
| Automatisation | Difficile | Facile à programmer |
- 2 à 4 variables : Utiliser Karnaugh (rapide et optimal)
- 5-6 variables : Karnaugh possible mais fastidieux
- 7+ variables : Utiliser des logiciels (Quine-McCluskey, outils CAO)
Points à Retenir
- Les tableaux de Karnaugh permettent une simplification visuelle et systématique
- L’ordre des cases suit le code Gray (un seul bit change)
- Les groupes doivent être de taille 2ⁿ (1, 2, 4, 8, 16…)
- Toujours former les groupes les plus grands possibles
- Les bords opposés du tableau sont adjacents
- Les don’t care (X) peuvent être 0 ou 1 selon ce qui simplifie le mieux
- Chaque groupe élimine les variables qui varient à l’intérieur
- Méthode optimale pour 2 à 4 variables
73 de F4HXN – Prochaine fiche : Les circuits combinatoires ! 📡